Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

Étape 1 : Développement et réduction du produit $(z - 2)(z^2 + c z - 3)$. Pour tout nombre complexe $z$, on développe l'expression : $$(z - 2)(z^2 + c z - 3) = z(z^2 + c z - 3) - 2(z^2 + c z - 3)$$ $$= z^3 + c z^2 - 3 z - 2 z^2 - 2 c z + 6$$ En regroupant les termes selon les puissances décroissantes de $z$, on obtient : $$(z - 2)(z^2 + c z - 3) = z^3 + (c - 2) z^2 + (-3 - 2c) z + 6$$

Étape 2

Étape 2 : Identification des coefficients. Le polynôme est défini par $P(z) = z^3 + b z^2 - 11 z + 6$. Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux. Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient le système d'équations : - Pour le terme en $z$ : $-3 - 2c = -11$ - Pour le terme en $z^2$ : $b = c - 2$

Étape 3

Étape 3 : Résolution et conclusion. L'équation $-3 - 2c = -11$ donne $2c = 8$, d'où $c = 4$. En remplaçant $c$ par $4$ dans la seconde équation, on trouve $b = 4 - 2 = 2$. La valeur du coefficient $b$ est donc $2$.