Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

Comme $2$ est racine de $P$, il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ :

Étape 2

$$P(z) = (z - 2)(az^2 + bz + c)$$

Étape 3

Le coefficient dominant de $P(z)$ étant égal à $1$, on a immédiatement $a = 1$. En développant cette expression, on obtient :

Étape 4

$$P(z) = z^3 + (b - 2)z^2 + (c - 2b)z - 2c$$

Étape 5

Par identification des coefficients avec l'expression de départ $P(z) = z^3 - 8z^2 + (k + 12)z - 2k$, on obtient le système :

Étape 6

$$\begin{cases} b - 2 = -8 \\ c - 2b = k + 12 \\ -2c = -2k \end{cases}$$

Étape 7

La première équation donne $b = -6$. La troisième équation donne $c = k$. En reportant dans la deuxième équation, on a $k - 2(-6) = k + 12$, ce qui confirme la compatibilité.

Étape 8

Le quotient de la factorisation de $P(z)$ par $z - 2$ est donc le trinôme $Q(z) = z^2 - 6z + k$.

Étape 9

Le trinôme $Q(z)$ admet une racine double dans $\mathbb{C}$ si et seulement si son discriminant est nul :

Étape 10

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times k = 36 - 4k$$

Étape 11

L'équation $\Delta = 0$ équivaut à $36 - 4k = 0$, soit $k = 9$.