Étape 1
Soit $a > 0$ et $z = 1 + i$. Comme $z \neq a$ (car $z \notin \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$), on applique l'identité algébrique de factorisation : $$(z - a) S = (z - a) \sum_{k=0}^{7} z^k a^{7-k} = z^8 - a^8$$ D'où l'expression sous forme de quotient : $$S = \frac{z^8 - a^8}{z - a}$$
Étape 2
Calculons la puissance $z^8$ sous forme algébrique : $$z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$$ $$z^4 = (2i)^2 = -4$$ $$z^8 = (-4)^2 = 16$$ Ainsi, le numérateur vaut $z^8 - a^8 = 16 - a^8$, qui est un nombre réel.
Étape 3
Déterminons la forme algébrique du nombre complexe $S$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de $z - a = (1 - a) + i$ : $$S = \frac{16 - a^8}{(1 - a) + i} = \frac{(16 - a^8)\left((1 - a) - i\right)}{(1 - a)^2 + 1^2}$$ Ce qui se décompose sous la forme $S = A + i B$ avec : $$S = \frac{(16 - a^8)(1 - a)}{(1 - a)^2 + 1} + i \cdot \frac{a^8 - 16}{(1 - a)^2 + 1}$$
Étape 4
La partie imaginaire de $S$ est donc : $$\text{Im}(S) = \frac{a^8 - 16}{a^2 - 2a + 2}$$ L'information de l'énoncé $\text{Im}(S) = 120$ s'écrit : $$\frac{a^8 - 16}{a^2 - 2a + 2} = 120$$ Ce qui équivaut à : $$a^8 - 16 = 120(a^2 - 2a + 2)$$ $$a^8 - 120a^2 + 240a - 256 = 0$$
Étape 5
En testant $a = 2$, on vérifie que : $$2^8 - 120(2^2) + 240(2) - 256 = 256 - 480 + 480 - 256 = 0$$ La fonction $a \mapsto \frac{a^8 - 16}{a^2 - 2a + 2}$ étant strictement négative sur $[0 ; 1]$ et strictement croissante sur $[1 ; +\infty[$, la valeur $a = 2$ est l'unique solution réelle strictement positive.
Méthode clé
Utiliser l'identité algébrique $z^n - a^n = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1} z^k a^{n-1-k}$ pour transformer la somme complexe en un quotient d'expressions algébriques simple à manipuler.
Piège à éviter
Chercher à développer la somme terme à terme, ce qui conduit à des calculs extrêmement lourds et propices aux erreurs.
