Exercice : Factorisation et équations de degré supérieur

Étape 1

On considère le polynôme $P(z) = z^4 - 16$. On remarque que $16 = 2^4$, ainsi : $$P(z) = z^4 - 2^4$$ On reconnaît une expression de la forme $z^n - a^n$ avec $n = 4$ et $a = 2$.

Étape 2

D'après l'identité algébrique du cours, pour tout nombre complexe $z$ et pour tout entier $n \ge 1$ : $$z^n - a^n = (z - a) \sum_{k=0}^{n-1} z^k a^{n-1-k}$$ En appliquant cette formule avec $n = 4$ et $a = 2$, il vient : $$z^4 - 2^4 = (z - 2)(z^3 \times 2^0 + z^2 \times 2^1 + z^1 \times 2^2 + z^0 \times 2^3)$$

Étape 3

On simplifie les puissances de $2$ pour obtenir la forme développée du quotient $Q(z)$ : $$Q(z) = z^3 + 2z^2 + 4z + 8$$

Étape 4

Pour calculer la valeur pivot $Q(2)$, on évalue le polynôme $Q(z)$ en $z = 2$ : $$Q(2) = 2^3 + 2 \times 2^2 + 4 \times 2 + 8$$ $$Q(2) = 8 + 8 + 8 + 8 = 32$$