Étape 1
On cherche à déterminer les coefficients réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ :
$$z^3 - 4z^2 + mz - 2m + 8 = (z - 2)(az^2 + bz + c)$$
Étape 2
En développant le membre de droite, on obtient :
$$(z - 2)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - 2a)z^2 + (c - 2b)z - 2c$$
Étape 3
Par identification avec les coefficients du polynôme initial, on établit le système suivant :
$$\begin{cases} a = 1 \\ b - 2a = -4 \\ c - 2b = m \\ -2c = -2m + 8 \end{cases}$$
On en déduit $a = 1$, $b = -2$ et $c = m - 4$.
L'équation s'écrit donc $(z - 2)(z^2 - 2z + m - 4) = 0$.
Étape 4
Les deux autres solutions complexes sont les racines du polynôme du second degré $z^2 - 2z + m - 4$.
Son discriminant est :
$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (m - 4) = 4 - 4m + 16 = 20 - 4m$$
Étape 5
Comme $m > 5$, on a $20 - 4m < 0$. Le discriminant est strictement négatif et s'écrit $\Delta = \left(2i\sqrt{m - 5}\right)^2$.
Les deux solutions complexes non réelles sont donc :
$$z_1 = \frac{2 + 2i\sqrt{m - 5}}{2} = 1 + i\sqrt{m - 5} \quad \text{et} \quad z_2 = 1 - i\sqrt{m - 5}$$
Étape 6
On calcule le module de $z_1$ :
$$|z_1| = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{m - 5}\right)^2} = \sqrt{1 + m - 5} = \sqrt{m - 4}$$
Étape 7
D'après l'énoncé, ce module doit être égal à $3$. On résout l'équation :
$$\sqrt{m - 4} = 3$$
En élevant au carré, on obtient $m - 4 = 9$, d'où $m = 13$.
Cette valeur est bien strictement supérieure à $5$.
Méthode clé
Développer et identifier les coefficients de $(z-a)(az^2+bz+c)$ pour ramener l'équation de degré 3 à une équation du second degré en fonction d'un paramètre.
Piège à éviter
Utiliser la division euclidienne de polynômes (hors programme) ou oublier de vérifier la condition $m > 5$ garantissant un discriminant strictement négatif.
