Valeur absolue et distances
L'essentiel du cours (2 notions)
Valeur absolue et distances
Définition : La valeur absolue d'un réel $a$, notée $|a|$, est sa distance à zéro. La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $d(a, b) = |b - a|$.
Propriété : Pour tous réels $a$ et $b$ : $|a| \ge 0$, $|-a| = |a|$ et $|b - a| = |a - b|$.
Exemple : La distance entre $3$ et $-2$ est $d(3, -2) = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5$.
Inéquations et valeur absolue
Définition : Pour $r \ge 0$, l'inéquation $|x - a| \le r$ signifie que la distance $d(x, a) \le r$.
Méthode : L'ensemble des solutions de $|x - a| \le r$ est l'intervalle $[a - r, a + r]$, centré en $a$ et de rayon $r$.
Exemple : $|x - 2| \le 3 \iff d(x, 2) \le 3 \iff x \in [2 - 3, 2 + 3] = [-1, 5]$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $|x - a| \leqslant 5$ est l'intervalle $[-2\,;\,8]$, où $a$ est un nombre réel.
En utilisant le fait que $a$ est le centre de cet intervalle, déterminer la valeur de $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Sur une droite graduée, on considère deux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $x_A = -4{,}3$ et $x_B = 3{,}2$.
En utilisant la formule de la distance exprimée à l'aide de la valeur absolue, calculer la distance $AB$.
Saisir la valeur de la distance $AB$.
Sur une droite graduée, on considère les points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $x_A = -7{,}3$ et $x_B = 2{,}7$.
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$ et $P$ le point d'abscisse $x_P = -4{,}8$.
Saisir la distance entre les points $M$ et $P$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $|x - 6| \leqslant r$, où $r$ est un nombre réel strictement positif, est un intervalle. On sait que la somme des carrés des deux bornes de cet intervalle est égale à $170$.
Saisir la valeur de $r$.