Exercice : Valeur absolue et distances

Étape 1

Pour tout nombre réel $r > 0$, l'inéquation $|x - 6| \leqslant r$ signifie que la distance entre $x$ et $6$ est inférieure ou égale à $r$. L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $I = [6 - r\,;\, 6 + r]$.

Étape 2

Les deux bornes de cet intervalle sont $6 - r$ et $6 + r$. La somme de leurs carrés s'écrit : $$(6 - r)^2 + (6 + r)^2 = 170$$

Étape 3

En développant à l'aide des identités remarquables, on obtient : $$(36 - 12r + r^2) + (36 + 12r + r^2) = 170$$ $$72 + 2r^2 = 170$$

Étape 4

Ce qui équivaut à : $$2r^2 = 170 - 72$$ $$2r^2 = 98$$ $$r^2 = 49$$

Étape 5

Comme $r$ est un nombre réel strictement positif, on conclut que $r = \sqrt{49} = 7$.