Exercice : Valeur absolue et distances

Étape 1

Une inéquation de la forme $|x - a| \leqslant r$ (avec $r \geqslant 0$) signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$. Son ensemble de solutions est l'intervalle $[a - r\,;\,a + r]$.

Étape 2

Le réel $a$ est le centre de cet intervalle. Par définition, le centre d'un intervalle $[b\,;\,c]$ est la moyenne de ses bornes : $$a = \frac{b + c}{2}$$

Étape 3

En appliquant cette formule avec $b = -2$ et $c = 8$ : $$a = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Étape 4

On peut vérifier que le rayon vaut $r = \frac{8 - (-2)}{2} = 5$, ce qui redonne bien l'inéquation $|x - 3| \leqslant 5$.