Puissances et racines carrées
L'essentiel du cours (2 notions)
Règles de calcul sur les puissances
Propriété : Pour tous réels non nuls $a, b$ et tous entiers $n, p \in \mathbb{Z}$ : $a^n \times a^p = a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$, $(a^n)^p = a^{n \times p}$ et $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.
Exemple : $10^3 \times 10^{-5} = 10^{3 + (-5)} = 10^{-2} = 0{,}01$.
Calculs avec puissances et racines
Propriété : Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2} = |a|$. Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$ : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Pour $a \ge 0$ et $b > 0$ : $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Méthode : Décomposer les nombres sous la racine pour extraire les carrés parfaits : $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$ (avec $a \ge 0$).
Exemple : $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
On considère l'expression numérique suivante :
$$A = \frac{5^3 \times 5^4}{5^5}$$
En utilisant les propriétés des puissances pour exprimer $A$ sous la forme $5^n$, déterminer la valeur numérique de $A$.
Saisir la valeur de $A$.
On considère l'expression suivante :
$$A = \frac{15^3 \times 5^{-2}}{3^2 \times 10}$$Calculer la valeur exacte de $A$.
Saisir la valeur de $A$ sous forme décimale.
On considère l'expression numérique suivante :
$$A = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} + 2^{-3} \times 16$$En simplifiant d'une part le quotient de racines carrées et d'autre part le produit comportant une puissance, calculer la valeur exacte de $A$.
Saisir la valeur de $A$.
On considère l'expression numérique suivante :
$$A = \frac{2^{-3} \times \sqrt{108} \times 5^2}{2^{-1} \times \sqrt{3} \times 5^3}$$Déterminer la valeur exacte de $A$ sous forme décimale.
Saisir la valeur de A.