Exercice puissances, calcul algebrique, simplifications — Puissances et racines carrées (2nde)

Automatisme

On considère l'expression numérique suivante :

$$A = \frac{5^3 \times 5^4}{5^5}$$

En utilisant les propriétés des puissances pour exprimer $A$ sous la forme $5^n$, déterminer la valeur numérique de $A$.

Saisir la valeur de $A$.

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Réponse finale

Étape 1

On cherche à calculer la valeur numérique de l'expression $A = \frac{5^3 \times 5^4}{5^5}$.

Étape 2

On simplifie d'abord le numérateur en appliquant la propriété du produit de deux puissances d'un même nombre $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :

Étape 3

$$5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$$

Étape 4

L'expression devient alors :

Étape 5

$$A = \frac{5^7}{5^5}$$

Étape 6

On applique ensuite la propriété du quotient de deux puissances d'un même nombre $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :

Étape 7

$$A = 5^{7-5} = 5^2$$

Étape 8

On calcule enfin la valeur numérique de $5^2$ :

Étape 9

$$A = 25$$

Méthode clé

Pour multiplier des puissances d'un même nombre, on additionne leurs exposants. Pour les diviser, on soustrait l'exposant du dénominateur.

Piège à éviter

Multiplier les bases entre elles (calculer $25^7$ au lieu de $5^7$) ou confondre l'addition des exposants avec leur multiplication.

Exercice : Puissances et racines carrées