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4 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (1 notion)

Ensembles de nombres et irrationnels

Définition : $\mathbb{D}$ réunit les décimaux ($a/10^n$), $\mathbb{Q}$ les rationnels ($a/b$), avec $a, b$ entiers ($b \neq 0$), et $\mathbb{R}$ tous les réels. Un réel non rationnel est irrationnel.

Propriété : Inclusion des ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Exemple : $\sqrt{2}$ (diagonale du carré de côté $1$) et $\pi$ (périmètre du cercle de diamètre $1$) sont irrationnels.

★ Standard

On considère la liste de nombres suivants :

  • $A = \sqrt{25}$
  • $B = \dfrac{13}{4}$
  • $C = \pi$
  • $D = \sqrt{2}$
  • $E = \dfrac{7}{3}$
  • $F = -\sqrt{9}$

En étudiant la nature de chacun de ces nombres, déterminer combien d'entre eux sont des nombres irrationnels.

Saisir le nombre d'irrationnels sous la forme d'un entier.
★★ Avancé

On considère l'expression $F(n) = \dfrac{n}{350}$, où $n$ est un entier naturel non nul.

On cherche à déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $F(n)$ soit un nombre décimal strictement supérieur à $0{,}2$.

Saisir la valeur de $n$.
Approfondissement ★★★ Challenge

Soit $x$ le nombre réel dont le développement décimal illimité périodique s'écrit :

$$x = 2{,}4181818...$$

dans lequel le motif $18$ se répète indéfiniment à partir du deuxième chiffre après la virgule.

On cherche la plus petite valeur entière strictement positive $k$ telle que le produit $k \times x$ soit un nombre entier.

Saisir la valeur de l'entier $k$.
Approfondissement ★★★ Challenge

On rappelle le résultat suivant concernant l'écriture décimale des nombres rationnels :

Propriété : Si $n \ge 2$ est un entier non divisible par $2$ ni par $5$, le développement décimal de la fraction $\dfrac{1}{n}$ est purement périodique. La longueur de sa période est le plus petit entier naturel $p \ge 1$ tel que $n$ soit un diviseur de $10^p - 1$.

Par exemple, pour $n = 3$, $n$ divise $10^1 - 1 = 9$, donc la période de $\dfrac{1}{3} = 0{,}333...$ est de longueur $1$.

On cherche à déterminer le plus petit entier $n \ge 2$ (non divisible par $2$ ni par $5$) tel que le développement décimal de $\dfrac{1}{n}$ possède une période de longueur exactement égale à $4$.

Saisir la valeur de $n$.