Étape 1
Soit $x = 2{,}4181818...$ On cherche à éliminer la partie décimale illimitée périodique.
Étape 2
En multipliant $x$ par $10$, on décale la virgule d'un rang : $$10x = 24{,}181818...$$
Étape 3
En multipliant $x$ par $1000$, on décale la virgule de trois rangs : $$1000x = 2418{,}181818...$$
Étape 4
Ces deux nombres ont exactement la même partie décimale infinie. Par soustraction membre à membre, on obtient : $$1000x - 10x = 2418 - 24$$ ce qui donne : $$990x = 2394$$
Étape 5
On en déduit l'écriture de $x$ sous forme de fraction : $$x = \frac{2394}{990}$$
Étape 6
Réduisons cette fraction sous forme irréductible. La somme des chiffres de $2394$ ($18$) et de $990$ ($18$) montre qu'ils sont divisibles par $9$ : $$2394 = 9 \times 266$$ $$990 = 9 \times 110$$ D'où : $$x = \frac{266}{110}$$
Étape 7
Les deux nombres étant pairs, on simplifie par $2$ : $$x = \frac{133}{55}$$
Étape 8
Le dénominateur $55$ se décompose en $5 \times 11$. Or $133$ n'est divisible ni par $5$ (il ne se termine pas par 0 ou 5), ni par $11$ (car $133 = 11 \times 12 + 1$). La fraction $\frac{133}{55}$ est donc irréductible.
Étape 9
Pour que le produit $k \times x = k \times \frac{133}{55}$ soit un nombre entier, $k$ doit être un multiple du dénominateur $55$. Le plus petit entier strictement positif possible est donc $k = 55$.
Méthode clé
Pour convertir un développement décimal périodique en fraction, on multiplie le nombre par $10^p$ et $10^q$ afin d'obtenir la même partie décimale infinie, puis on effectue la différence des deux expressions.
Piège à éviter
Oublier de simplifier la fraction obtenue au maximum avant de conclure sur la valeur minimale de $k$.
