Étape 1
D'après la propriété énoncée, la fraction $\dfrac{1}{n}$ a une période de longueur exactement égale à $4$ si et seulement si $n$ divise $10^4 - 1 = 9999$, mais ne divise aucun des nombres $10^1 - 1 = 9$, $10^2 - 1 = 99$ et $10^3 - 1 = 999$.
Étape 2
Décomposons $9999$ en produit de facteurs premiers pour déterminer ses diviseurs : $$9999 = 9 \times 1111 = 3^2 \times 11 \times 101$$
Étape 3
Les diviseurs de $9999$ rangés par ordre croissant sont : $1$, $3$, $9$, $11$, $33$, $99$, $101$, $303$, $909$, $1111$, $3333$ et $9999$.
Étape 4
Examinons ces diviseurs dans l'ordre croissant à partir de $2$ pour trouver le plus petit d'entre eux satisfaisant aux conditions :
Étape 5
- Pour $n = 3$ et $n = 9$ : ces nombres divisent $10^1 - 1 = 9$. La période de leur développement décimal est donc de longueur $1$.
Étape 6
- Pour $n = 11$, $n = 33$ et $n = 99$ : ces nombres ne divisent pas $9$, mais ils divisent $10^2 - 1 = 99$. La période de leur développement décimal est donc de longueur $2$.
Étape 7
- Pour $n = 101$ : $101$ est un nombre premier. Il ne divise pas $9$, il ne divise pas $99$, et $999 = 101 \times 9 + 90$, donc $101$ ne divise pas non plus $999$. En revanche, $101$ divise bien $9999$ car $9999 = 101 \times 99$.
Étape 8
Ainsi, le plus petit entier $n \ge 2$ répondant aux conditions est $101$. On peut vérifier par calcul que $\dfrac{1}{101} = 0{,}00990099... = 0{,}\overline{0099}$, dont la période comporte bien $4$ chiffres.
Méthode clé
Décomposer $10^p - 1$ en facteurs premiers pour identifier ses diviseurs, puis vérifier qu'ils ne divisent pas $10^k - 1$ pour $k < p$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que l'entier $n$ ne divise aucun des nombres $10^1 - 1$, $10^2 - 1$ ou $10^3 - 1$, ce qui donnerait une période plus courte.
