Étape 1
On décompose le dénominateur $350$ en produit de facteurs premiers : $$350 = 2 \times 5^2 \times 7$$
Étape 2
Un nombre rationnel écrit sous forme irréductible est un nombre décimal si et seulement si la décomposition de son dénominateur ne contient que des puissances de $2$ et de $5$.
Étape 3
Pour que la fraction $F(n) = \dfrac{n}{350}$ représente un nombre décimal, le facteur $7$ présent au dénominateur doit être entièrement éliminé par simplification. Par conséquent, $n$ doit être un multiple de $7$.
Étape 4
On traduit la condition d'inégalité $F(n) > 0{,}2$ : $$\dfrac{n}{350} > 0{,}2$$ ce qui équivaut à $$n > 0{,}2 \times 350$$ soit $$n > 70$$
Étape 5
L'entier $n$ cherché doit donc être un multiple de $7$ strictement supérieur à $70$. Le plus petit entier naturel répondant à ces deux critères est $n = 77$.
Étape 6
Vérification : pour $n = 77$, on obtient $$F(77) = \dfrac{77}{350} = \dfrac{11 \times 7}{50 \times 7} = \dfrac{11}{50} = 0{,}22$$ Le nombre $0{,}22$ appartient bien à l'ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$ et est strictement supérieur à $0{,}2$.
Méthode clé
Une fraction représentée sous forme irréductible est un nombre décimal si et seulement si son dénominateur n'admet aucun autre facteur premier que 2 et 5.
Piège à éviter
Oublier de simplifier le facteur 7 du dénominateur par le numérateur $n$ avant de conclure sur la nature décimale du nombre.
