Pourcentages et évolutions successives
L'essentiel du cours (4 notions)
Calcul de valeur initiale ou finale
Propriété : Un taux d'évolution $t$ donne un coefficient multiplicateur $CM = 1 + t$. $V_{\text{finale}} = V_{\text{initiale}} \times CM$ et $V_{\text{initiale}} = \frac{V_{\text{finale}}}{CM}$.
Exemple : Hausse de $20\%$ : $CM = 1{,}20$. Si $V_i = 50\text{ €}$, alors $V_f = 50 \times 1{,}20 = 60\text{ €}$.
Calcul d'un taux d'évolution
Propriété : Le taux d'évolution est $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = CM - 1$. Il s'exprime en pourcentage sous la forme $t \times 100\%$.
Exemple : De $80\text{ €}$ à $100\text{ €}$ : $t = \frac{100 - 80}{80} = 0{,}25 = +25\%$.
Taux global d'évolutions successives
Propriété : Pour des évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient : $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n$.
Méthode : 1. Calculer chaque $CM_i = 1 + t_i$. 2. Effectuer le produit $CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots$. 3. En déduire $t_{\text{global}} = CM_{\text{global}} - 1$.
Exemple : +$10\%$ ($CM_1=1{,}1$) puis -$20\%$ ($CM_2=0{,}8$) : $CM_g = 1{,}1 \times 0{,}8 = 0{,}88$, soit $t_g = -12\%$.
Taux d'évolution réciproque
Propriété : L'évolution réciproque permet de revenir à la valeur initiale. Son coefficient multiplicateur vérifie $CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM}$.
Méthode : 1. Calculer le $CM = 1 + t$ initial. 2. Calculer $CM' = \frac{1}{CM}$. 3. En déduire le taux réciproque $t' = CM' - 1$.
Exemple : Pour une hausse de $25\%$ ($CM = 1{,}25$) : $CM' = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}80$, d'où $t' = -20\%$.
Un prix subit deux évolutions successives.
La première évolution est une augmentation de $20\%$.
À l'issue des deux évolutions, le prix a augmenté au total de $68\%$.
Déterminer le taux de la seconde évolution (en %, sans inscrire le symbole %).
Le prix d'un objet subit une baisse de $20\,\%$ suivie d'une hausse de $t\,\%$. À l'issue de ces deux évolutions successives, le prix de l'objet est revenu exactement à sa valeur initiale.
Saisir la valeur de $t$.
Le prix d'un produit subit une première hausse de $15\,\%$, puis une baisse de $20\,\%$. À l'issue de ces deux évolutions successives, le prix final du produit est de $184\text{ €}$.
Quel était le prix initial du produit avant ces deux variations ?
Saisir la valeur du prix initial.
Le prix d'un article subit une augmentation de $25\%$. Pour revenir au prix initial, cet article doit subir une seconde évolution de taux $t\%$.
Déterminer la valeur de t
Saisir la valeur de $t$.
Après avoir subi une augmentation de $t\%$, le prix d'un article subit une baisse de $20\%$ pour revenir exactement à sa valeur initiale.
Saisir la valeur de $t$.
Le prix d'un article subit une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 15 %. Après ces deux évolutions successives, l'article coûte 230 €.
Saisir le prix initial de cet article (en euros).
La valeur d'un placement financier augmente de $40\%$ la première année, puis diminue de $30\%$ la deuxième année.
Déterminer le taux d'évolution global de ce placement sur l'ensemble des deux années.
Saisir le taux d'évolution global sous forme de pourcentage (par exemple -5 pour -5%).