Nombre dérivé & Équation de la tangente
L'essentiel du cours (5 notions)
Taux de variation et sécante
Définition : Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ ($h \neq 0$) est $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Il mesure la pente de la sécante passant par $A(a;f(a))$ et $B(a+h;f(a+h))$.
Méthode : Pour $f(x) = x^2$ en $a$ : exprimer $f(a+h) = (a+h)^2$, développer $f(a+h)-f(a) = 2ah+h^2$, puis simplifier par $h$ ($h \neq 0$) pour obtenir $2a+h$.
Exemple : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ : $\frac{(1+h)^2-1^2}{h} = \frac{2h+h^2}{h} = 2+h$.
Interprétation du nombre dérivé
Propriété : Le nombre dérivé $f'(a)$ mesure le taux de variation instantané de la grandeur $f$ au point d'abscisse $a$.
Méthode : • Géométrie : pente de la tangente $f'(a)$. • Cinématique : vitesse instantanée $v(a) = x'(a) = \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=a}$. • Économie : coût marginal $C_m(q) \approx C'(q)$.
Exemple : Si la position est $x(t) = 5t^2$, la vitesse instantanée à $t=2\text{ s}$ est le nombre dérivé $v(2) = x'(2) = 20\text{ m/s}$.
Lecture et tracé de tangente
Propriété : Le nombre dérivé $f'(a)$ est égal au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
Méthode : • Lire $f'(a)$ : à partir de $A(a;f(a))$, avancer de $1$ unité à droite et lire le décalage vertical $\Delta y$. • Tracer $T_a$ : placer $A(a;f(a))$ puis utiliser la pente $m = f'(a)$.
Exemple : Si la tangente en $x=2$ monte de $3$ unités quand $x$ augmente de $1$, alors $f'(2) = 3$.
Équation de la tangente
Formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Méthode : 1. Calculer l'image $f(a)$. 2. Calculer le nombre dérivé $f'(a)$. 3. Remplacer $f(a)$ et $f'(a)$ dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ puis simplifier.
Exemple : Pour $f(1)=2$ et $f'(1)=3$, l'équation est $y = 3(x - 1) + 2$, soit $y = 3x - 1$.
Approximation affine
Propriété : Pour $h$ proche de $0$, la courbe est proche de sa tangente en $a$. On a l'approximation : $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$.
Méthode : Pour $f(x)=\sqrt{x}$ en $a=1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=\frac{1}{2}$. Donc pour $h$ proche de $0$, $\sqrt{1+h} \approx 1 + \frac{1}{2}h$.
Exemple : Pour $h = 0{,}02$, $\sqrt{1{,}02} = \sqrt{1+0{,}02} \approx 1 + 0{,}5 \times 0{,}02 = 1{,}01$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 + 4x - 3$$On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a = 1$ a une équation réduite de la forme $y = m x + p$.
Déterminer la valeur du coefficient $p$ (l'ordonnée à l'origine de cette tangente).
Un mobile se déplace le long d'un axe. Sa position (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes, pour $t \ge 0$) est donnée par la fonction $d(t) = k t^2 + 5t$, où $k$ est un réel strictement positif.
On sait que la vitesse instantanée du mobile à l'instant $t = 3\text{ s}$ est égale à $17\text{ m/s}$.
En exprimant la vitesse instantanée à l'aide du nombre dérivé $d'(3)$, déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.
En calculant d'abord les images de $1$ et de $4$ par la fonction $f$, déterminer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$.
Saisir la valeur du taux de variation.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.
Le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et un nombre réel $a > 0$ (avec $a \neq 2$) est égal à $-0{,}1$.
Saisir la valeur de $a$.
Un mobile se déplace le long d'un axe gradué en mètres. Sa position à l'instant $t$ (exprimé en secondes, pour $t \ge 0$) est modélisée par la fonction $d$ définie par :
$$d(t) = -t^3 + 3t^2 + 9t + 2$$Déterminer la position du mobile, en mètres, à l'instant où sa vitesse instantanée s'annule.
Saisir la valeur de la position du mobile.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que la droite $T$, tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $2$.
On cherche à déterminer l'ordonnée du point de la droite $T$ dont l'abscisse est égale à $7$.
Saisir l'ordonnée de ce point.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 1$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
On considère le point $P(3\,; -6)$. On s'intéresse aux tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ qui passent par le point $P$.
Par une justification algébrique complète, déterminer la plus grande valeur de l'abscisse $a$ d'un point de contact de ces tangentes avec la courbe $\mathcal{C}_f$.
Saisir la plus grande valeur de l'abscisse $a$.