Exercice : Nombre dérivé & Équation de la tangente

Étape 1

Par définition, le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $a$ est donné par la formule : $$\tau(a) = \dfrac{f(a) - f(2)}{a - 2}$$

Étape 2

On calcule $f(2) = \dfrac{1}{2}$ et $f(a) = \dfrac{1}{a}$. En remplaçant dans l'expression du taux de variation, on obtient : $$\tau(a) = \dfrac{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{2}}{a - 2}$$

Étape 3

En réduisant le numérateur au même dénominateur $2a$, il vient : $$\tau(a) = \dfrac{\dfrac{2 - a}{2a}}{a - 2} = \dfrac{2 - a}{2a(a - 2)}$$

Étape 4

Puisque $2 - a = -(a - 2)$, on simplifie par $(a - 2)$ pour tout $a \neq 2$ : $$\tau(a) = -\dfrac{1}{2a}$$

Étape 5

D'après l'énoncé, ce taux de variation est égal à $-0{,}1$, ce qui donne l'équation : $$-\dfrac{1}{2a} = -0{,}1$$ Ce qui équivaut à $\dfrac{1}{2a} = \dfrac{1}{10}$, d'où $2a = 10$. On en déduit ainsi que $a = 5$.