Exercice : Nombre dérivé & Équation de la tangente

Étape 1

En cinématique, la vitesse instantanée du mobile à un instant $t$ correspond à la dérivée de la fonction position $d(t)$ par rapport au temps.

Étape 2

Pour tout $t \ge 0$, on calcule la fonction dérivée de $d(t) = k t^2 + 5t$ :

Étape 3

$$d'(t) = 2 k t + 5$$

Étape 4

À l'instant $t = 3\text{ s}$, la vitesse instantanée s'exprime ainsi en fonction de $k$ :

Étape 5

$$d'(3) = 2 k \times 3 + 5 = 6k + 5$$

Étape 6

D'après les données de l'énoncé, cette vitesse instantanée vaut $17\text{ m/s}$. On obtient l'équation :

Étape 7

$$6k + 5 = 17$$

Étape 8

Ce qui équivaut à $6k = 12$, d'où $k = 2$.