Exercice : Nombre dérivé & Équation de la tangente

Étape 1

Pour déterminer l'ordonnée du point de la tangente $T$ d'abscisse $x = 7$, il faut d'abord établir l'équation réduite de cette droite.

Étape 2

Par lecture graphique, la tangente $T$ passe par le point de tangence $A(2 \,;\, 3)$ et par le point $B(0 \,;\, -1)$.

Étape 3

Le coefficient directeur de la droite $T$, qui est égal au nombre dérivé $f'(2)$, se calcule par :

Étape 4

$$f'(2) = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{3 - (-1)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$$

Étape 5

L'équation réduite de la tangente $T$ est donnée par la formule $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$. En remplaçant par les valeurs obtenues :

Étape 6

$$y = 2(x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = 2x - 1$$

Étape 7

On calcule l'ordonnée du point de la droite $T$ pour $x = 7$ :

Étape 8

$$y = 2 \times 7 - 1 = 14 - 1 = 13$$