Exercice : Nombre dérivé & Équation de la tangente

Étape 1

La vitesse instantanée du mobile à l'instant $t$ correspond à la dérivée de la fonction de position $d$.

Étape 2

Déterminons l'expression de la fonction dérivée $d'$ pour tout $t \ge 0$ : $$d'(t) = -3t^2 + 3 \times 2t + 9 = -3t^2 + 6t + 9$$

Étape 3

Recherchons l'instant $t \ge 0$ où la vitesse instantanée s'annule, ce qui revient à résoudre l'équation $d'(t) = 0$ : $$-3t^2 + 6t + 9 = 0$$ En divisant tous les termes par $-3$, cette équation est équivalente à : $$t^2 - 2t - 3 = 0$$

Étape 4

Calculons le discriminant $\Delta$ du trinôme du second degré : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$$ Comme $\Delta > 0$, l'équation possède deux solutions réelles : $$t_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = -1 \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = 3$$ Le temps $t$ devant être positif ou nul ($t \ge 0$), la seule valeur retenue est $t = 3\text{ s}$.

Étape 5

Calculons enfin la position du mobile à cet instant $t = 3$ : $$d(3) = -(3)^3 + 3 \times 3^2 + 9 \times 3 + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29$$

Étape 6

La position du mobile à l'instant où sa vitesse s'annule est égale à $29\text{ m}$.