Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré, dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, sa dérivée est donnée par : $$f'(x) = 2x - 4$$
Étape 2
Soit $a$ un nombre réel. L'équation de la tangente $T_a$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ s'écrit : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ En exprimant $f(a)$ et $f'(a)$ en fonction de $a$, on obtient : $$y = (2a - 4)(x - a) + (a^2 - 4a + 1)$$
Étape 3
En développant et simplifiant cette expression, il vient : $$y = 2ax - 2a^2 - 4x + 4a + a^2 - 4a + 1$$ $$y = (2a - 4)x - a^2 + 1$$
Étape 4
Le point $P(3\,; -6)$ appartient à la tangente $T_a$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $T_a$. Cela équivaut à : $$-6 = (2a - 4) \times 3 - a^2 + 1$$
Étape 5
Développons et réduisons cette équation : $$-6 = 6a - 12 - a^2 + 1$$ $$-6 = -a^2 + 6a - 11$$ Ce qui équivaut à l'équation du second degré : $$a^2 - 6a + 5 = 0$$
Étape 6
Calculons le discriminant de ce polynôme en $a$ : $$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16$$ Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $$a_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$$ $$a_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$
Étape 7
Il existe donc deux tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ passant par le point $P(3\,; -6)$, correspondant aux points de contact d'abscisses $1$ et $5$. La plus grande de ces deux abscisses est $5$.
Méthode clé
Pour trouver une tangente passant par un point extérieur, on écrit l'équation de la tangente en un point d'abscisse variable $a$, puis on résout l'équation obtenue en injectant les coordonnées du point extérieur.
Piège à éviter
Confondre l'abscisse du point de contact $a$ avec l'abscisse du point extérieur $P$ par lequel passe la tangente.
