Modèles arithmétiques et géométriques
L'essentiel du cours (3 notions)
Suites arithmétiques et géométriques
Propriété : • Arithmétique : $u_n = u_0 + n r$ (croît si $r > 0$, décroît si $r < 0$). • Géométrique : $u_n = u_0 q^n$ (pour $u_0 > 0$ et $q > 0$ : croît si $q > 1$, décroît si $0 < q < 1$).
Méthode : Somme de $N$ termes consécutifs $S$ : • Arithmétique : $S = N \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ • Géométrique ($q \neq 1$) : $S = \text{premier} \times \frac{1 - q^N}{1 - q}$
Exemple : Pour $u_n = 5 \times 2^n$ ($u_0 = 5$, $q = 2$), la suite croît et $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 5 \times \frac{1-2^4}{1-2} = 75$.
Évolutions à taux fixe
Propriété : Faire évoluer une grandeur au taux fixe $t$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $q = 1 + t$.
Méthode : 1. Déterminer $q = 1 + t$. 2. Poser $u_n = u_0 \times q^n$. 3. Vérifier la nature géométrique avec $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$.
Exemple : Une hausse de $4\%$ donne $q = 1{,}04$. Pour $u_0 = 200$, la valeur après $n$ étapes vaut $u_n = 200 \times 1{,}04^n$.
Sommes d'entiers et de puissances
Formule : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \quad \text{et} \quad 1 + q + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \ (q \neq 1)$
Méthode : • La somme des entiers compte $n$ termes. • La somme des puissances compte $n+1$ termes (de $q^0$ à $q^n$).
Exemple : $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ et $1 + 3 + 3^2 + 3^3 = \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 40$.
Une population de micro-organismes augmente chaque jour selon un taux fixe.
Au $5^{\text{e}}$ jour, la population compte $4000$ individus.
Au $6^{\text{e}}$ jour, elle en compte $4800$.
En supposant que ce taux d'évolution reste constant, déterminer la population au $8^{\text{e}}$ jour.
Saisir la population au $8^{\text{e}}$ jour.
Un placement financier d'un montant initial $u_0 = 80$ € augmente de $25\,\%$ chaque année. On note $u_n$ la valeur de ce placement au bout de $n$ années.
En calculant d'abord la raison $q$ de la suite géométrique $(u_n)$, déterminer la valeur du terme $u_2$.
Saisir la valeur du terme $u_2$.
La population d'une réserve animale augmente chaque année d'un taux fixe. L'année 3, la réserve compte $250$ individus, et l'année 4, elle en compte $300$.
Calculer le nombre d'individus présents dans la réserve l'année 5.
Saisir la valeur du nombre d'individus l'année 5.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 4$.
En calculant d'abord la valeur du terme $u_{10}$, déterminer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.
Saisir la valeur de $S$.
On considère la somme des premiers entiers naturels non nuls de $1$ à $40$ :
$$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 40$$En utilisant la formule de la somme des premiers entiers consécutifs pour $n = 40$, déterminer la valeur exacte de $S$.
Saisir la valeur de $S$.
Pour tout entier $n \ge 1$, on note $S_n$ la somme définie par $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n$.
On s'intéresse à l'affirmation suivante : « Pour tout entier $n \ge 1$, la quantité $2S_n + 260$ est strictement supérieure à $34n$. »
Cette affirmation est fausse. On cherche à déterminer le plus petit entier $n \ge 1$ constituant un contre-exemple, c'est-à-dire le plus petit entier $n \ge 1$ vérifiant $2S_n + 260 \le 34n$.
Saisir la valeur de cet entier $n$.
Une suite numérique $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :
$$u_{n+1} = u_n + 4$$On sait que la somme de quinze termes consécutifs de cette suite de $u_5$ à $u_{19}$ est égale à $690$, c'est-à-dire :
$$u_5 + u_6 + \text{...} + u_{19} = 690$$Déterminer et saisir la valeur numérique exacte du terme initial $u_0$.