Exercice : Modèles arithmétiques et géométriques

Étape 1

La relation $u_{n+1} = u_n + 4$ montre que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 4$.

Étape 2

Pour tout entier naturel $n$, le terme général s'exprime en fonction de $u_0$ par : $$u_n = u_0 + 4n$$

Étape 3

Exprimons le premier terme $u_5$ et le dernier terme $u_{19}$ de la somme en fonction de $u_0$ : $$u_5 = u_0 + 4 \times 5 = u_0 + 20$$ $$u_{19} = u_0 + 4 \times 19 = u_0 + 76$$

Étape 4

Le nombre de termes figurant dans la somme de $u_5$ à $u_{19}$ est égal à $19 - 5 + 1 = 15$.

Étape 5

La somme $S = u_5 + u_6 + \dots + u_{19}$ s'écrit alors : $$S = 15 \times \frac{u_5 + u_{19}}{2}$$ En remplaçant par les expressions en fonction de $u_0$, on obtient : $$S = 15 \times \frac{(u_0 + 20) + (u_0 + 76)}{2} = 15 \times \frac{2u_0 + 96}{2} = 15(u_0 + 48)$$

Étape 6

On sait que cette somme vaut $690$, ce qui conduit à l'équation : $$15(u_0 + 48) = 690$$

Étape 7

En divisant par $15$ de chaque côté, on a : $$u_0 + 48 = \frac{690}{15} = 46$$ D'où : $$u_0 = 46 - 48 = -2$$