Exercice : Modèles arithmétiques et géométriques

Étape 1

Pour tout entier $n \ge 1$, la somme des $n$ premiers entiers consécutifs est donnée par la formule du cours : $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Étape 2

L'affirmation est mise en défaut pour tout entier $n \ge 1$ tel que : $$2S_n + 260 \le 34n$$

Étape 3

En remplaçant $S_n$ par son expression en fonction de $n$, cette condition équivaut à : $$2 \times \frac{n(n+1)}{2} + 260 \le 34n$$ Ce qui simplifie en : $$n(n+1) + 260 \le 34n$$ $$n^2 + n + 260 \le 34n$$ $$n^2 - 33n + 260 \le 0$$

Étape 4

Étudions le signe du trinôme $n^2 - 33n + 260$. Calculons son discriminant : $$\Delta = (-33)^2 - 4 \times 1 \times 260 = 1089 - 1040 = 49$$ Comme $\Delta > 0$, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : $$n_1 = \frac{33 - \sqrt{49}}{2} = \frac{33 - 7}{2} = 13$$ $$n_2 = \frac{33 + \sqrt{49}}{2} = \frac{33 + 7}{2} = 20$$

Étape 5

Le coefficient devant $n^2$ étant positif ($a = 1 > 0$), le trinôme est négatif ou nul entre ses racines, c'est-à-dire pour $n \in [13 \;; 20]$.

Étape 6

Les entiers vérifiant cette condition sont donc $13, 14, \dots, 20$. Le plus petit entier constituant un contre-exemple est donc $13$.