Indépendance et répétitions d'épreuves
L'essentiel du cours (3 notions)
Indépendance de deux événements
Définition : Deux événements $A$ et $B$ ($P(B) \neq 0$) sont indépendants si la réalisation de $B$ ne modifie pas la probabilité de $A$, soit $P_B(A) = P(A)$.
Propriété : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Méthode : Pour démontrer l'indépendance : calculer séparément $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$, puis comparer les deux valeurs.
Succession de deux épreuves indépendantes
Propriété : En cas d'indépendance, la seconde épreuve conserve des probabilités identiques quel que soit le résultat de la première (branches identiques au second niveau).
Méthode : 1. Dresser un arbre à deux niveaux ou un tableau croisé. 2. Maintenir les mêmes probabilités au second niveau. 3. Multiplier les probabilités du chemin.
Répétition d'épreuves de Bernoulli
Définition : Une épreuve de Bernoulli a deux issues : Succès ($S$) de probabilité $p$ et Échec ($\bar{S}$) de probabilité $1-p$. Sa répétition identique et indépendante forme un schéma de Bernoulli.
Méthode : 1. Construire l'arbre à $n$ niveaux ($n \le 4$). 2. Reporter $p$ et $1-p$ sur chaque branche. 3. Multiplier les probabilités le long d'un chemin.
Exemple : Pour $n=3$ tirages avec remise ($p=0{,}4$), la probabilité du chemin $S \bar{S} S$ est $0{,}4 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}096$.
Un joueur participe à un jeu de société. Chaque partie est une épreuve de Bernoulli indépendante : la probabilité de gagner une partie est égale à $0{,}3$. Le joueur joue $3$ parties consécutives et indépendantes.
On note $V$ l'événement « le joueur gagne la partie » et $\overline{V}$ l'événement contraire.
- Calculer la probabilité de l'issue $(V, \overline{V}, V)$.
- Déterminer le nombre de chemins de l'arbre de choix qui correspondent à l'obtention d'exactement deux victoires.
- En déduire la probabilité d'obtenir exactement deux victoires à l'issue des $3$ parties.
Saisir la valeur exacte de la probabilité d'obtenir exactement deux victoires à l'issue des $3$ parties sous forme décimale.
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tels que $P(A) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}5$.
On note $k = P(A \cup B)$ la probabilité de la réunion de ces deux événements.
En calculant d'abord la probabilité de l'intersection $A \cap B$ sous condition d'indépendance, déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule du sac, on note sa couleur, puis on la remet dans le sac avant d'effectuer un second tirage à l'identique.
En modélisant cette succession de deux épreuves indépendantes à l'aide d'un arbre de probabilités, déterminer la probabilité d'obtenir deux boules rouges consécutives.
Saisir la valeur de la probabilité sous forme d'un nombre décimal.
Dans le cadre d'un contrôle qualité, un composant informatique est soumis à deux tests distincts. On note $A$ l'événement « le composant échoue au premier test » et $B$ l'événement « le composant échoue au second test ».
On dispose des informations suivantes :
- $P(A) = 0{,}4$ ;
- $P(B) = p$, où $p$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ;
- La probabilité qu'un composant échoue à au moins l'un des deux tests est de $0{,}58$.
Les deux tests sont conçus de telle sorte que l'échec au premier test n'a pas d'influence sur l'échec au second test, ce qui se traduit par la relation $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Déterminer la valeur du paramètre $p$.
Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.
Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tel que $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$.
On pose $P(B) = p$, où $p$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$.
On souhaite déterminer la valeur du paramètre $p$ pour laquelle les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Saisir la valeur du paramètre $p$ rendant les événements $A$ et $B$ indépendants.
Un jeu se déroule en deux étapes successives :
- On tire au hasard un jeton dans une première urne contenant $3$ jetons verts et $2$ jetons rouges.
- On tire ensuite au hasard un jeton dans une seconde urne contenant $2$ jetons verts et $3$ jetons rouges.
On note $G_1$ (respectivement $R_1$) l'événement « obtenir un jeton vert (respectivement rouge) au premier tirage » et $G_2$ (respectivement $R_2$) l'événement « obtenir un jeton vert (respectivement rouge) au second tirage ».
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un jeton vert à l'issue de ces deux tirages ?
Saisir la probabilité sous forme d'un nombre décimal.
Un tireur s'entraîne au tir à l'arc. Lors de chaque tir, la probabilité d'atteindre le cœur de la cible est égale à $0{,}6$. Il effectue une série de $3$ tirs successifs. On suppose que ces $3$ tirs sont indépendants les uns des autres.
Déterminer la probabilité que le tireur atteigne le cœur de la cible au moins deux fois lors de cette série.
Saisir la probabilité sous forme d'un nombre décimal.