Exercice : Indépendance et répétitions d'épreuves

Étape 1

Déterminons d'abord les probabilités associées à chaque tirage pris individuellement. Pour le premier tirage dans l'urne $1$ : $$P(G_1) = \frac{3}{5} = 0{,}6 \quad \text{et} \quad P(R_1) = \frac{2}{5} = 0{,}4$$ Pour le second tirage dans l'urne $2$ : $$P(G_2) = \frac{2}{5} = 0{,}4 \quad \text{et} \quad P(R_2) = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Étape 2

Le résultat du second tirage est indépendant du premier car il s'effectue dans une seconde urne distincte. Par conséquent, pour tout événement du premier niveau, les probabilités du second niveau restent inchangées : $$P_{G_1}(G_2) = P(G_2) = 0{,}4 \quad \text{et} \quad P_{G_1}(R_2) = P(R_2) = 0{,}6$$ $$P_{R_1}(G_2) = P(G_2) = 0{,}4 \quad \text{et} \quad P_{R_1}(R_2) = P(R_2) = 0{,}6$$

Étape 3

L'événement « obtenir exactement un jeton vert » est réalisé par deux chemins incompatibles de l'arbre : - Le chemin $(G_1 \cap R_2)$ : obtenir un vert puis un rouge. - Le chemin $(R_1 \cap G_2)$ : obtenir un rouge puis un vert. Par indépendance des deux épreuves, la probabilité de chaque chemin est le produit des probabilités de ses branches : $$P(G_1 \cap R_2) = P(G_1) \times P(R_2) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$$ $$P(R_1 \cap G_2) = P(R_1) \times P(G_2) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$$

Étape 4

Les événements $(G_1 \cap R_2)$ et $(R_1 \cap G_2)$ étant disjoins, la probabilité cherchée s'obtient en additionnant la probabilité de ces deux chemins : $$P = P(G_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap G_2) = 0{,}36 + 0{,}16 = 0{,}52$$