Exercice : Indépendance et répétitions d'épreuves

Étape 1

On répète $3$ fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de succès $V$ de probabilité $P(V) = 0{,}3$ et d'échec $\overline{V}$ de probabilité $P(\overline{V}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Étape 2

1. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité du chemin $(V, \overline{V}, V)$ s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches : $$P(V, \overline{V}, V) = P(V) \times P(\overline{V}) \times P(V) = 0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063$$

Étape 3

2. Sur l'arbre de choix à $3$ niveaux, les chemins comportant exactement deux victoires et une défaite sont $(V, V, \overline{V})$, $(V, \overline{V}, V)$ et $(\overline{V}, V, V)$. Il y a donc $3$ chemins distincts qui réalisent cet événement.

Étape 4

3. Chaque chemin possédant $2$ victoires et $1$ défaite a la même probabilité de se réaliser : $$P(V, V, \overline{V}) = P(V, \overline{V}, V) = P(\overline{V}, V, V) = 0{,}063$$

Étape 5

La probabilité d'obtenir exactement deux victoires est la somme des probabilités de ces $3$ chemins : $$P(\text{exactement 2 victoires}) = 3 \times 0{,}063 = 0{,}189$$