Exercice probabilites, intersection, reunion — Indépendance et répétitions d'épreuves (1ère Spécialité)

★★ Avancé

Dans le cadre d'un contrôle qualité, un composant informatique est soumis à deux tests distincts. On note $A$ l'événement « le composant échoue au premier test » et $B$ l'événement « le composant échoue au second test ».

On dispose des informations suivantes :

$P(A) = 0{,}4$ ;
$P(B) = p$, où $p$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ;
La probabilité qu'un composant échoue à au moins l'un des deux tests est de $0{,}58$.

Les deux tests sont conçus de telle sorte que l'échec au premier test n'a pas d'influence sur l'échec au second test, ce qui se traduit par la relation $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Déterminer la valeur du paramètre $p$.

Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.

Correction détaillée Étape par étape

✓

Réponse finale

0,3

Étape 1

D'après les conditions de l'expérience, la probabilité que le composant échoue simultanément aux deux tests est donnée par : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times p = 0{,}4p$$

Étape 2

On applique la formule générale de la probabilité de la réunion de deux événements : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Étape 3

En remplaçant par les valeurs numériques et l'expression trouvée précédemment, on obtient l'équation : $$0{,}58 = 0{,}4 + p - 0{,}4p$$

Étape 4

En réduisant le membre de droite, cela équivaut à : $$0{,}58 = 0{,}4 + 0{,}6p$$

Étape 5

On isole le terme en $p$ : $$0{,}6p = 0{,}58 - 0{,}4 = 0{,}18$$

Étape 6

D'où : $$p = \frac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3$$

Méthode clé

Exprimer l'intersection sous la forme $P(A) \times P(B)$ puis substituer cette expression dans la formule générale de la réunion $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Piège à éviter

Oublier de retrancher la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ lors du calcul de la réunion $P(A \cup B)$.

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Exercice : Indépendance et répétitions d'épreuves

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