Exercice probabilites conditionnelles, independance, evenements — Indépendance et répétitions d'épreuves (1ère Spécialité)

★★ Avancé

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tel que $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$.

On pose $P(B) = p$, où $p$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$.

On souhaite déterminer la valeur du paramètre $p$ pour laquelle les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Saisir la valeur du paramètre $p$ rendant les événements $A$ et $B$ indépendants.

✓

Réponse finale

0,5

Étape 1

Par définition, deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Étape 2

En remplaçant par les données de l'énoncé, l'indépendance de $A$ et $B$ impose : $$P(A \cap B) = 0{,}4 \times p = 0{,}4p$$

Étape 3

Pour tous événements $A$ et $B$, la formule de la réunion est : $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Étape 4

En substituant les valeurs données, nous obtenons l'équation suivante : $$0{,}7 = 0{,}4 + p - 0{,}4p$$

Étape 5

En réduisant le membre de droite, cela équivaut à : $$0{,}7 = 0{,}4 + 0{,}6p$$

Étape 6

En soustrayant $0{,}4$ de chaque côté, on obtient : $$0{,}3 = 0{,}6p$$

Étape 7

D'où la valeur du paramètre $p$ : $$p = \frac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5$$

Étape 8

Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants si et seulement si $p = 0{,}5$.

Méthode clé

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Piège à éviter

Oublier le terme $-P(A \cap B)$ dans la formule de la réunion et écrire à tort $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Exercice : Indépendance et répétitions d'épreuves