Étape 1
Chaque tir est une épreuve ayant deux issues possibles : atteindre le cœur de la cible (succès $S$, de probabilité $p = 0{,}6$) ou ne pas l'atteindre (échec $E$, de probabilité $1 - p = 0{,}4$).
Étape 2
On répète cette épreuve $3$ fois de manière identique et indépendante. On peut représenter l'ensemble des issues par un arbre de probabilités à $8$ issues.
Étape 3
L'événement « atteindre le cœur de la cible au moins deux fois » correspond à obtenir $2$ ou $3$ succès. Cet événement est réalisé par les $4$ chemins suivants :
Étape 4
$$\text{Chemins favorables : } (S, S, S), (S, S, E), (S, E, S), (E, S, S)$$
Étape 5
Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités situées sur ses branches :
Étape 6
$P(S, S, S) = 0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}216$
Étape 7
$P(S, S, E) = 0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}144$
Étape 8
$P(S, E, S) = 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}144$
Étape 9
$P(E, S, S) = 0{,}4 \times 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}144$
Étape 10
Ces chemins correspondants à des événements incompatibles, on additionne leurs probabilités pour obtenir la probabilité recherchée :
Étape 11
$$P = 0{,}216 + 0{,}144 + 0{,}144 + 0{,}144 = 0{,}648$$
Méthode clé
Lors de la répétition d'épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins favorables.
Piège à éviter
Oublier l'issue comportant trois succès (« au moins deux » signifie 2 ou 3 succès) ou oublier l'un des ordres possibles pour obtenir deux succès.
