Équations de base & Factorisations (Rappels)
L'essentiel du cours (3 notions)
Résolution d'équation produit nul
Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.
Méthode : 1. Poser chaque facteur égal à $0$. 2. Résoudre chaque équation du premier degré. 3. Rassembler toutes les solutions dans l'ensemble $S$.
Exemple : $(2x - 4)(x + 3) = 0 \iff 2x - 4 = 0$ ou $x + 3 = 0$. D'où $S = \{-3 ; 2\}$.
Signe d'une expression factorisée
Propriété : Pour $a \neq 0$, $ax + b$ s'annule en $-\frac{b}{a}$ et est du signe de $a$ pour $x > -\frac{b}{a}$. Pour un produit, on dresse un tableau de signes.
Méthode : 1. Trouver la valeur d'annulation de chaque facteur. 2. Compléter une ligne par facteur dans le tableau. 3. Appliquer la règle des signes sur la ligne bilan.
Exemple : Pour $(x - 2)(-2x + 6)$, annulation en $2$ et $3$. Le produit est strictement positif sur $]2 ; 3[$, strictement négatif sur $]-\infty ; 2[ \cup ]3 ; +\infty[$ et nul en $2$ et $3$.
Développement et factorisation simples
Propriété : Distributivité : $k(a+b) = ka + kb$. Identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ et $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Exemple : Développer : $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Factoriser : $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
On considère l'expression algébrique suivante :
$$A(x) = (3x - 4)^2 + 2x(5 - x)$$Développer et réduire l'expression $A(x)$ pour l'écrire sous la forme $a x^2 + b x + c$.
Quelle est la valeur du coefficient $b$ ?
On considère l'expression $A(x) = (-2x + 6)(x + 4)$.
En étudiant le signe de chacun des facteurs, déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x) > 0$.
Saisir la valeur du plus grand entier $x$ vérifiant cette inéquation.
On considère l'équation suivante :
$$ (2x + 3)(x - 4) + (2x + 3)(3x - 1) = 0 $$Déterminer la plus grande solution de cette équation.
Saisir la plus grande solution sous la forme d'une fraction irréductible.
On considère l'équation :
$$(2x - 7)(x + 4) = 0$$Déterminer la plus grande solution de cette équation.
Saisir la plus grande solution sous forme décimale.
On considère l'équation suivante :
$$(2x - 7)^2 - (2x - 7)(5 - 3x) = 0$$Saisir la plus grande solution sous la forme d'une fraction irréductible a/b.
On considère l'expression $A(x) = (2x + k)(6 - x)$, où $k$ est un entier impair positif.
L'inéquation $A(x) \ge 0$ admet exactement 11 solutions entières.
A l'aide d'une étude de signes, déterminez la valeur de $k$
Saisir la valeur de l'entier $k$.
On considère l'équation d'inconnue $x$ suivante :
$$(2x - 6)(3x + k) = 0$$où $k$ est un nombre réel.
On sait que la somme des deux solutions de cette équation est égale à $5$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur de $k$.