Étape 1
On cherche à déterminer le signe de l'expression $A(x) = (-2x + 6)(x + 4)$.
Étape 2
Étudions séparément le signe de chaque facteur du premier degré :
Étape 3
$-2x + 6 = 0$ équivaut à $x = 3$. Le coefficient devant $x$ étant $-2$ (négatif), l'expression $-2x + 6$ est strictement positive pour $x < 3$ et strictement négative pour $x > 3$.
Étape 4
$x + 4 = 0$ équivaut à $x = -4$. Le coefficient devant $x$ étant $1$ (positif), l'expression $x + 4$ est strictement négative pour $x < -4$ et strictement positive pour $x > -4$.
Étape 5
On dresse le tableau de signes de $A(x)$ :
Étape 6
$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -4 & & 3 & & +\infty \\ \hline -2x + 6 & & + & | & + & 0 & - \\ x + 4 & & - & 0 & + & | & + \\ \hline A(x) & & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$
Étape 7
L'inéquation $A(x) > 0$ est donc vérifiée pour $x \in ]-4 ; 3[$.
Étape 8
Les nombres entiers contenus dans l'intervalle ouvert $]-4 ; 3[$ sont $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$ et $2$.
Étape 9
Le plus grand entier solution est donc $2$.
Méthode clé
Dresser un tableau de signes ligne par ligne pour chaque facteur du premier degré avant de conclure sur le signe du produit.
Piège à éviter
Croire que la borne $3$ fait partie des solutions alors que l'inéquation est strictement positive ($A(x) > 0$).
