Étape 1
On recherche les valeurs d'annulation de l'expression $A(x) = (2x + k)(6 - x)$ :
Étape 2
$$2x + k = 0 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad x = -\frac{k}{2}$$
Étape 3
$$6 - x = 0 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad x = 6$$
Étape 4
Comme $k$ est un entier positif, on a $-\frac{k}{2} < 0 < 6$. On établit le tableau de signes de $A(x)$ :
Étape 5
$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -\frac{k}{2} & & 6 & & +\infty \\ \hline 2x + k & & - & 0 & + & & + & \\ \hline 6 - x & & + & & + & 0 & - & \\ \hline A(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}$$
Étape 6
L'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x) \ge 0$ est donc l'intervalle fermé $\left[-\frac{k}{2} \,; 6\right]$.
Étape 7
On recherche le nombre de solutions entières dans cet intervalle. Comme $k$ est un entier impair, il s'écrit $k = 2m + 1$ avec $m$ un entier naturel. On a alors :
Étape 8
$$-\frac{k}{2} = -\frac{2m + 1}{2} = -m - 0{,}5$$
Étape 9
Le plus petit entier supérieur ou égal à $-m - 0{,}5$ est $-m$. Les solutions entières de l'inéquation sont donc tous les entiers compris entre $-m$ et $6$ inclus :
Étape 10
$$\{-m \,; -m+1 \,; \dots \,; 5 \,; 6\}$$
Étape 11
Le nombre de solutions entières est donné par $6 - (-m) + 1 = m + 7$.
Étape 12
L'énoncé indique qu'il y a $11$ solutions entières, d'où :
Étape 13
$$m + 7 = 11 \quad \text{donc} \quad m = 4$$
Étape 14
On en déduit la valeur de l'entier $k$ :
Étape 15
$$k = 2 \times 4 + 1 = 9$$
Méthode clé
Dresser le tableau de signes de l'expression factorisée pour déterminer l'intervalle des solutions, puis dénombrer les entiers de cet intervalle en fonction du paramètre $k$.
Piège à éviter
Oublier que $k$ est un entier impair et confondre la borne réelle $-\frac{k}{2}$ avec le premier entier contenu dans l'intervalle.
