Étape 1
On cherche la valeur du nombre réel $k$ telle que la somme des solutions de l'équation $(2x - 6)(3x + k) = 0$ soit égale à $5$.
Étape 2
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. L'équation équivaut donc à :$$2x - 6 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x + k = 0$$
Étape 3
On résout chacune de ces deux équations de premier degré :$$2x = 6 \implies x = 3$$$$3x = -k \implies x = -\frac{k}{3}$$
Étape 4
L'ensemble des solutions de l'équation est donc :$$S = \left\{3 ; -\frac{k}{3}\right\}$$
Étape 5
D'après l'énoncé, la somme de ces deux solutions vaut $5$. On dresse l'équation suivante :$$3 + \left(-\frac{k}{3}\right) = 5$$
Étape 6
On isole le terme contenant $k$ :$$-\frac{k}{3} = 5 - 3$$$$-\frac{k}{3} = 2$$
Étape 7
En multipliant par $-3$ de chaque côté, on obtient :$$k = 2 \times (-3) = -6$$
Étape 8
La valeur du paramètre $k$ est donc $-6$.
Méthode clé
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
Piège à éviter
Attention aux erreurs de signe lors du passage de $3x + k = 0$ à $x = -\frac{k}{3}$.
