Applications de l'étude de variations
L'essentiel du cours (2 notions)
Variations et position relative de courbes
Méthode : Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$ : 1. Poser $d(x) = f(x) - g(x)$. 2. Étudier le signe de $d$ (via un tableau de signes ou ses variations). 3. Si $d(x) \ge 0$, alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
Exemple : Pour $d(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$, le minimum sur $\mathbb{R}$ vaut $0$ (en $x=0$), donc $\mathrm{e}^x \ge x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
Parité et symétries d'une courbe
Définition : Soit $D$ symétrique par rapport à $0$. $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$, et impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$.
Propriété : La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Celle d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Exemple : $f(x) = x^2$ est paire car $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^2 + 3x + 5 \quad \text{et} \quad g(x) = 5x + 1$$On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives respectives. Pour tout réel $x$, on pose $d(x) = f(x) - g(x)$, représentant la différence verticale entre les deux courbes au point d'abscisse $x$.
- Exprimer $d(x)$ sous forme développée et simplifiée, puis déterminer sa fonction dérivée $d'$.
- Étudier les variations de la fonction $d$ sur $\mathbb{R}$.
- En déduire la valeur minimale de l'écart vertical $d(x)$ entre les deux courbes.
Saisir la valeur de la distance verticale minimale entre les deux courbes.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^4 - 2x^2 + (k - 7)x$$où $k$ est un nombre réel.
On souhaite que la courbe représentative de $f$ admette l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, c'est-à-dire que la fonction $f$ soit paire.
En calculant d'abord $f(-x)$ pour tout réel $x$, déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle cette propriété est vérifiée.
Saisir la valeur de k.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = -2x^2 + 12x - 5$$En déterminant la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis l'étude de son signe, déterminer la valeur maximale prise par la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Saisir la valeur maximale de la fonction $f$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = -2x^2 + kx - 5$$où $k$ est un nombre réel strictement positif.
La valeur maximale atteinte par la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est égale à $3$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x) = x^3 + 25 \quad \text{et} \quad g(x) = 12x + k$$où $k$ est un nombre réel.
On souhaite déterminer la plus grande valeur du paramètre $k$ pour laquelle la courbe représentative de la fonction $f$ reste toujours située au-dessus ou au contact de celle de la fonction $g$ sur l'ensemble $[0\,;\,+\infty[$.
Saisir la valeur maximale du paramètre $k$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{x^5 + (k+1)x}{x^2 + 2} + (k^2 - 16)x^2 + (k^2 - 3k - 4)x^4$$où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle la courbe représentative de la fonction $f$ admet l'origine du repère $O(0,0)$ comme centre de symétrie.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$ par :
$$f(x) = x^3 - 9x^2 + 18x + 35 \quad \text{et} \quad g(x) = -6x + k$$
où $k$ est un nombre réel.
Déterminer la valeur maximale du réel $k$ pour laquelle la courbe représentative de $f$ est située entièrement au-dessus ou confondu à celle de $g$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$. Saisir cette valeur.