Étape 1
Pour étudier la position relative des deux courbes sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$, on introduit la fonction différence $d$ définie pour tout $x \ge 2$ par $d(x) = f(x) - g(x)$.
Étape 2
On exprime $d(x)$ en fonction de $x$ et du paramètre $k$ :
Étape 3
$$d(x) = (x^3 - 9x^2 + 18x + 35) - (-6x + k) = x^3 - 9x^2 + 24x + 35 - k$$
Étape 4
La fonction $d$ est dérivable sur $[2\,;\,+\infty[$. Pour tout $x \ge 2$, sa dérivée est :
Étape 5
$$d'(x) = 3x^2 - 18x + 24$$
Étape 6
On cherche les racines du trinôme $3x^2 - 18x + 24$. En factorisant par $3$, on obtient $d'(x) = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x - 2)(x - 4)$.
Étape 7
Les racines de $d'(x)$ sont donc $x_1 = 2$ et $x_2 = 4$.
Étape 8
On étudie le signe de $d'(x)$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$ :
Étape 9
Pour tout $x \in [2\,;\,4]$, $x - 2 \ge 0$ et $x - 4 \le 0$, donc $d'(x) \le 0$.
Étape 10
Pour tout $x \in [4\,;\,+\infty[$, $x - 2 \ge 0$ et $x - 4 \ge 0$, donc $d'(x) \ge 0$.
Étape 11
On en déduit que la fonction $d$ est strictement décroissante sur $[2\,;\,4]$ et strictement croissante sur $[4\,;\,+\infty[$.
Étape 12
Par conséquent, la fonction $d$ admet un minimum absolu sur $[2\,;\,+\infty[$ en $x = 4$.
Étape 13
On calcule la valeur de ce minimum :
Étape 14
$$d(4) = 4^3 - 9 \times 4^2 + 24 \times 4 + 35 - k = 64 - 144 + 96 + 35 - k = 51 - k$$
Étape 15
La courbe de $f$ est située entièrement au-dessus de celle de $g$ sur $[2\,;\,+\infty[$ si et seulement si $d(x) \ge 0$ pour tout $x \ge 2$.
Étape 16
Ceci équivaut à ce que le minimum absolu de $d$ sur cet intervalle soit supérieur ou égal à zéro :
Étape 17
$$51 - k \ge 0$$
Étape 18
ce qui équivaut à :
Étape 19
$$k \le 51$$
Étape 20
La valeur maximale du réel $k$ vérifiant cette propriété est donc $51$.
Méthode clé
Pour comparer $f(x)$ et $g(x)$, étudier le sens de variation de la fonction différence $d = f - g$ et déterminer son minimum absolu.
Piège à éviter
Oublier de restreindre la recherche du minimum à l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$ ou chercher à résoudre directement l'inéquation sans passer par l'étude de variation.
