Exercice : Applications de l'étude de variations

Étape 1

Pour tout réel $x$, on calcule $f(-x)$ :

Étape 2

$$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + (k - 7)(-x)$$

Étape 3

$$f(-x) = x^4 - 2x^2 - (k - 7)x$$

Étape 4

La courbe représentative de $f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie si et seulement si la fonction $f$ est paire sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire si $f(-x) = f(x)$ pour tout réel $x$.

Étape 5

Cette égalité s'écrit :

Étape 6

$$x^4 - 2x^2 - (k - 7)x = x^4 - 2x^2 + (k - 7)x$$

Étape 7

En simplifiant les termes identiques $x^4 - 2x^2$ de chaque côté, on obtient :

Étape 8

$$-(k - 7)x = (k - 7)x$$

Étape 9

ce qui équivaut à :

Étape 10

$$2(k - 7)x = 0$$

Étape 11

Pour que cette égalité soit vraie pour tout réel $x$, le coefficient $2(k - 7)$ doit être égal à zéro.

Étape 12

$$2(k - 7) = 0 \iff k - 7 = 0 \iff k = 7$$

Étape 13

La valeur du paramètre $k$ pour laquelle la fonction est paire est donc $7$.