Étape 1
La courbe représentative de la fonction $f$ admet l'origine $O(0,0)$ comme centre de symétrie si et seulement si la fonction $f$ est impaire, c'est-à-dire si pour tout réel $x$, $f(-x) = -f(x)$, ce qui équivaut à $f(-x) + f(x) = 0$.
Étape 2
Pour tout réel $x$, on exprime $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{(-x)^5 + (k+1)(-x)}{(-x)^2 + 2} + (k^2 - 16)(-x)^2 + (k^2 - 3k - 4)(-x)^4$$ En simplifiant les puissances de $-x$, on obtient : $$f(-x) = \frac{-x^5 - (k+1)x}{x^2 + 2} + (k^2 - 16)x^2 + (k^2 - 3k - 4)x^4$$ On calcule ensuite la somme $f(-x) + f(x)$ : $$f(-x) + f(x) = 2(k^2 - 16)x^2 + 2(k^2 - 3k - 4)x^4$$
Étape 3
Pour que la relation $f(-x) + f(x) = 0$ soit vraie pour tout réel $x$, les coefficients des termes de degré pair doivent s'annuler simultanément, ce qui conduit au système : $$\begin{cases} 2(k^2 - 16) = 0 \\ 2(k^2 - 3k - 4) = 0 \end{cases}$$
Étape 4
La première équation $k^2 - 16 = 0$ équivaut à $k^2 = 16$, soit $k = 4$ ou $k = -4$.
Pour la seconde équation $k^2 - 3k - 4 = 0$, le discriminant vaut : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$$ Les solutions sont $k = \frac{3 - 5}{2} = -1$ et $k = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
La seule valeur du réel $k$ qui vérifie simultanément les deux équations est $k = 4$.
Méthode clé
Une courbe est symétrique par rapport à l'origine si et seulement si $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$. Cette égalité exige l'annulation identique de la partie paire de l'expression.
Piège à éviter
Tester une seule valeur particulière de $x$ (comme $x=1$) et oublier que l'égalité $f(-x) + f(x) = 0$ doit être vérifiée pour tout réel $x$.
