Exercice : Applications de l'étude de variations

Étape 1

On commence par calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. Pour tout nombre réel $x$, on a : $$f'(x) = -2 \times 2x + 12 = -4x + 12$$

Étape 2

On étudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$. L'équation $-4x + 12 = 0$ équivaut à $-4x = -12$, soit $x = 3$. Comme le coefficient devant $x$ est $-4$ (strictement négatif), la fonction affine $f'$ est strictement décroissante.

Étape 3

On en déduit le signe de $f'(x)$ : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 3[$ et $f'(x) < 0$ sur $]3 ; +\infty[$.

Étape 4

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty ; 3]$ et strictement décroissante sur $[3 ; +\infty[$. Elle admet donc un maximum global en $x = 3$.

Étape 5

On calcule la valeur de ce maximum : $$f(3) = -2 \times 3^2 + 12 \times 3 - 5 = -18 + 36 - 5 = 13$$ La valeur maximale de la fonction $f$ est donc $13$.