Exercice : Applications de l'étude de variations

Étape 1

Déterminons l'expression de la fonction différence $d$ sur $\mathbb{R}$ :

Étape 2

$$d(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 3x + 5) - (5x + 1) = x^2 - 2x + 4$$

Étape 3

La fonction $d$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynomiale. Sa fonction dérivée est :

Étape 4

$$d'(x) = 2x - 2$$

Étape 5

Étudions le signe de $d'(x)$ sur $\mathbb{R}$ :

Étape 6

$$d'(x) = 0 \iff 2x - 2 = 0 \iff x = 1$$

Étape 7

Pour tout $x < 1$, $d'(x) < 0$, donc $d$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 1]$.

Étape 8

Pour tout $x > 1$, $d'(x) > 0$, donc $d$ est strictement croissante sur $[1 ; +\infty[$.

Étape 9

On en déduit que la fonction $d$ admet un minimum absolu sur $\mathbb{R}$ atteint en $x = 1$.

Étape 10

Calculons la valeur de ce minimum :

Étape 11

$$d(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$$

Étape 12

La distance verticale minimale entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est donc égale à $3$.