Étape 1
La courbe représentative de la fonction $f$ est située au-dessus ou au contact de celle de $g$ sur $[0\,;\,+\infty[$ si et seulement si $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$.
Étape 2
Cette condition s'écrit :$$x^3 + 25 \ge 12x + k \quad \text{soit} \quad x^3 - 12x + 25 \ge k$$
Étape 3
Considérons la fonction $h$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $h(x) = x^3 - 12x + 25$. La condition devient : $k \le h(x)$ pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$. Cela signifie que $k$ doit être inférieur ou égal au minimum absolu de $h$ sur cet intervalle.
Étape 4
La fonction $h$ est dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$ comme fonction polynomiale. Pour tout $x \ge 0$ :$$h'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$$
Étape 5
Sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, le facteur $(x + 2)$ est strictement positif. Le signe de $h'(x)$ dépend donc uniquement de celui de $(x - 2)$ :
Étape 6
Pour $x \in [0\,;\,2[$, $h'(x) < 0$, donc la fonction $h$ est strictement décroissante.
Étape 7
Pour $x \in ]2\,;\,+\infty[$, $h'(x) > 0$, donc la fonction $h$ est strictement croissante.
Étape 8
On en déduit le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;\,+\infty[$ :$$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline h(x) & 25 & \searrow & & \nearrow & \end{array}$$
Étape 9
La fonction $h$ admet donc un minimum absolu sur $[0\,;\,+\infty[$ atteint en $x = 2$. Ce minimum vaut :$$h(2) = 2^3 - 12 \times 2 + 25 = 8 - 24 + 25 = 9$$
Étape 10
Par conséquent, l'inégalité $h(x) \ge k$ est vérifiée pour tout $x \ge 0$ si et seulement si $k \le 9$. La valeur maximale recherchée pour $k$ est donc $9$.
Méthode clé
Pour qu'une inégalité de la forme $h(x) \ge k$ soit vraie pour tout $x$ d'un intervalle, il faut et il suffit que $k$ soit inférieur ou égal au minimum absolu de la fonction $h$ sur cet intervalle.
Piège à éviter
Confondre la valeur $x = 2$ où le minimum est atteint avec la valeur minimale elle-même $h(2) = 9$.
