Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré, dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 2
Pour tout réel $x$, sa fonction dérivée est donnée par : $f'(x) = -4x + k$.
Étape 3
Étudions le signe de $f'(x)$ : $-4x + k = 0$ équivaut à $x = \dfrac{k}{4}$. Comme le coefficient de $x$ dans $f'(x)$ est $-4$ (strictement négatif), $f'(x)$ est strictement positive sur $]-\infty ; \dfrac{k}{4}[$ et strictement négative sur $]\dfrac{k}{4} ; +\infty[$.
Étape 4
Ainsi, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; \dfrac{k}{4}]$ puis strictement décroissante sur $[\dfrac{k}{4} ; +\infty[$. Elle admet donc un maximum absolu atteint en $x = \dfrac{k}{4}$.
Étape 5
Calculons l'expression de ce maximum en fonction de $k$ : $f\left(\dfrac{k}{4}\right) = -2\left(\dfrac{k}{4}\right)^2 + k\left(\dfrac{k}{4}\right) - 5 = -2 \times \dfrac{k^2}{16} + \dfrac{k^2}{4} - 5 = -\dfrac{k^2}{8} + \dfrac{k^2}{4} - 5 = \dfrac{k^2}{8} - 5$.
Étape 6
D'après l'énoncé, la valeur maximale de $f$ est égale à $3$, ce qui donne l'équation : $\dfrac{k^2}{8} - 5 = 3$.
Étape 7
Ce qui équivaut à $\dfrac{k^2}{8} = 8$, soit $k^2 = 64$.
Étape 8
Comme $k$ est un nombre réel strictement positif par hypothèse, on en déduit que $k = 8$.
Méthode clé
Pour déterminer un paramètre inconnu lié à un extrémum, on calcule la dérivée en fonction de ce paramètre, on repère l'abscisse où elle s'annule, puis on égale l'expression de l'extrémum à la valeur donnée.
Piège à éviter
Confondre l'abscisse de l'extrémum avec la valeur maximale de la fonction elle-même.
