Suites d'intégrales et applications
L'essentiel du cours (4 notions)
Étude d'une suite d'intégrales
Propriété : Pour $a \leqslant b$, si $f_n(x) \geqslant 0$, alors $I_n = \int_a^b f_n(x)\mathrm{d}x \geqslant 0$. Si $f_{n+1} \leqslant f_n$ sur $[a;b]$, la suite $(I_n)$ est décroissante.
Méthode : 1. Étudier le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x)$ pour la monotonie. 2. Utiliser une intégration par parties pour la récurrence. 3. Encadrer $f_n(x)$ sur $[a;b]$ pour déterminer $\lim_{n \to +\infty} I_n$ par encadrement.
Exemple : Pour $I_n = \int_0^1 x^n e^x \mathrm{d}x$, $0 \leqslant I_n \leqslant e \int_0^1 x^n \mathrm{d}x = \frac{e}{n+1}$, donc $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.
Valeur moyenne d'une fonction
Définition : La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur $[a;b]$ ($a < b$) est le réel $m$ représentant la hauteur constante du rectangle de même aire sous la courbe.
Formule : $m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$
Exemple : Pour une vitesse $v(t)$, $v_m = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} v(t)\mathrm{d}t$ est la vitesse moyenne sur $[t_1;t_2]$.
Approximation d'aire par subdivisions
Propriété : Pour $f$ continue et monotone sur $[a;b]$, les sommes inférieure $u_n$ et supérieure $v_n$ issues de $n$ subdivisions encadrent l'aire $A = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x$ : $u_n \leqslant A \leqslant v_n$.
Méthode : 1. Subdiviser $[a;b]$ au pas $h = \frac{b-a}{n}$. 2. Exprimer $u_n$ et $v_n$ par sommes de rectangles. 3. Prouver que $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$ pour encadrer $A$.
Encadrement de la somme harmonique
Propriété : Pour $x \mapsto \frac{1}{x}$ décroissante sur $[k; k+1]$ ($k \geqslant 1$) : $\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{x}\mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{k}$.
Méthode : 1. Sommer les inégalités de $k=1$ à $n$. 2. Obtenir $\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln(n)$ avec $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. 3. Conclure par comparaison que $\lim_{n \to +\infty} H_n = +\infty$.
La température (en $^\circ\text{C}$) d'une préparation chimique durant une phase de réaction de $4\text{ heures}$ est modélisée par la fonction $T$ définie sur l'intervalle $[0\,; 4]$ par :
$$T(t) = 15 + 6t - 0{,}75t^2$$où $t$ représente le temps écoulé en heures depuis le début de la réaction.
On souhaite déterminer la valeur moyenne de la température du liquide durant ces $4$ premières heures.
Saisir la valeur de la température moyenne.
Soit $(I_n)$ la suite d'intégrales définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \, dx$$1. Justifier que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $0 \le x^n e^{-x} \le x^n$.
2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n \le \dfrac{1}{n+1}$.
3. Déterminer le plus petit entier naturel $n_0$ à partir duquel cette majoration garantit que $I_n \le 0{,}04$.
Saisir la valeur de l'entier $n_0$.
Dans une usine chimique, la température d'un réacteur (en degrees Celsius) en fonction du temps $t$ (en heures) écoulé depuis le début de la réaction ($t=0$) est modélisée par la fonction :
$$T(t) = -t^2 + 6t + 15 \quad \text{pour } t \ge 0$$
La phase de réaction se termine lorsque la température du réacteur redescend à sa valeur initiale $T(0)$.
Quelle est la température moyenne (en degrees Celsius) du réacteur durant l'ensemble de cette phase de réaction ?
On considère la suite $(I_n)_{n \ge 0}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$I_n = \int_1^e x (\ln x)^n \, dx$$Par une démonstration théorique complète utilisant la relation de récurrence, déterminer la valeur de l'entier $k$ tel que :
$$I_5 = \frac{k - e^2}{8}$$Saisir la valeur de l'entier $k$.
On considère la suite $(I_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par :
$$I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x$$- Étudier la monotonie de la suite $(I_n)_{n \ge 1}$, puis exprimer la somme $I_n + I_{n+1}$ en fonction de $n$ pour tout $n \ge 1$.
- En déduire le plus petit entier naturel non nul $n_0$ tel que $I_{n_0} < 0{,}1$.
Saisir la valeur de l'entier $n_0$.
Soit $k$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $(I_n)$ par :
$$I_n = \int_0^1 (1-x)^n e^{k x} \, dx$$On suppose que la valeur de $I_2$ vérifie la relation :
$$k^3 I_2 - 2 e^k = -17$$Déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère la suite $(I_n)_{n \ge 0}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$I_n = \int_0^1 (1-x)^n e^x \, \mathrm{d}x$$Pour tout entier naturel $n$, la valeur de $I_n$ s'exprime sous la forme $a_n e - b_n$, où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers naturels.
Saisir la valeur de l'entier $b_4$.
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,3]$ par $f(x) = k x^2 + 1$.
On souhaite approcher l'aire du domaine situé sous la courbe de $f$ en subdivisant l'intervalle $[0\,;\,3]$ en $n$ sous-intervalles de même longueur $\frac{3}{n}$, où $n$ est un entier naturel non nul.
On note $S_n$ la somme supérieure (somme des aires des $n$ rectangles circonscrits) associée à cette subdivision.
On rappelle que pour tout entier $N \ge 1$, $\sum_{i=1}^{N} i^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$.
Sachant que pour $n = 6$, la somme supérieure $S_6$ est égale à $25{,}75$, déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur exacte de $k$.
On considère la suite $(H_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout entier $n \ge 1$ par :
$$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$En effectuant une comparaison entre cette somme et une aire sous la courbe de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $[1, n+1]$, on établit une minoration de $H_n$ exprimée à l'aide du logarithme népérien.
Déterminer le plus petit entier naturel $n \ge 1$ pour lequel cette minoration théorique permet d'assurer que $H_n \ge \ln(500)$. Saisir uniquement cet entier.