Exercice : Suites d'intégrales et applications

Étape 1

Pour déterminer la température moyenne sur l'intervalle $[0\,; 4]$, on utilise la formule de la valeur moyenne d'une fonction continue : $$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b T(t) \, \mathrm{d}t$$ Ici, $a = 0$ et $b = 4$, d'où $b - a = 4$.

Étape 2

Déterminons une primitive $F$ de la fonction $T$ sur l'intervalle $[0\,; 4]$. La fonction $T(t) = 15 + 6t - 0{,}75t^2$ a pour primitive : $$F(t) = 15t + 3t^2 - 0{,}25t^3$$

Étape 3

Calculons l'intégrale $\int_0^4 T(t) \, \mathrm{d}t = F(4) - F(0)$ : $$F(4) = 15 \times 4 + 3 \times 4^2 - 0{,}25 \times 4^3 = 60 + 48 - 16 = 92$$ Comme $F(0) = 0$, nous obtenons : $$\int_0^4 T(t) \, \mathrm{d}t = 92$$

Étape 4

On en déduit la valeur moyenne $\mu$ : $$\mu = \frac{1}{4} \times 92 = 23$$ La température moyenne de la préparation durant ces $4$ heures est donc de $23\text{ }^\circ\text{C}$.