Exercice : Suites d'intégrales et applications

Étape 1

Sur l'intervalle $[0\,;\,3]$, la subdivision régulière en $n$ sous-intervalles est définie par les points $x_i = \frac{3i}{n}$ pour $i \in \{0, 1, \dots, n\}$. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0\,;\,3]$, le maximum de $f$ sur chaque sous-intervalle $[x_{i-1}\,;\,x_i]$ est atteint en $x_i$. La somme supérieure $S_n$ s'écrit :

Étape 2

$$S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{3}{n} f(x_i) = \frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( k \left(\frac{3i}{n}\right)^2 + 1 \right)$$

Étape 3

En développant et en séparant les termes de la somme, on obtient :

Étape 4

$$S_n = \frac{3}{n} \left( \frac{9k}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} 1 \right) = \frac{27k}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3$$

Étape 5

En substituant la formule $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, il vient :

Étape 6

$$S_n = \frac{27k}{n^3} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 = \frac{9k(n+1)(2n+1)}{2n^2} + 3$$

Étape 7

Pour $n = 6$, on évalue le coefficient de $k$ :

Étape 8

$$S_6 = \frac{9k \times (6+1) \times (2 \times 6 + 1)}{2 \times 6^2} + 3 = \frac{9k \times 7 \times 13}{72} + 3 = \frac{91k}{8} + 3$$

Étape 9

D'après les données de l'énoncé, $S_6 = 25{,}75$, ce qui conduit à l'équation :

Étape 10

$$\frac{91k}{8} + 3 = 25{,}75$$

Étape 11

$$\frac{91k}{8} = 22{,}75$$

Étape 12

Comme $22{,}75 = \frac{91}{4}$, cela équivaut à :

Étape 13

$$\frac{91k}{8} = \frac{91}{4}$$

Étape 14

En multipliant par 8 puis en divisant par 91, on trouve $k = 2$.