Étape 1
Calculons tout d'abord le premier terme $I_0$ : $$I_0 = \int_1^e x (\ln x)^0 \, dx = \int_1^e x \, dx$$ Une primitive de $x \mapsto x$ sur $[1~;~e]$ est $x \mapsto \frac{x^2}{2}$. On obtient donc : $$I_0 = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e = \frac{e^2 - 1}{2}$$
Étape 2
Pour tout entier $n \ge 1$, établissoons une relation de récurrence en effectuant une intégration par parties. On pose : $$u'(x) = x \quad \text{et} \quad v(x) = (\ln x)^n$$ Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[1~;~e]$ et leurs dérivées sont continues : $$u(x) = \frac{x^2}{2} \quad \text{et} \quad v'(x) = n \frac{(\ln x)^{n-1}}{x}$$
Étape 3
En appliquant la formule d'intégration par parties : $$I_n = \left[ \frac{x^2}{2} (\ln x)^n \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \times n \frac{(\ln x)^{n-1}}{x} \, dx$$ $$I_n = \frac{e^2}{2} - \frac{n}{2} \int_1^e x (\ln x)^{n-1} \, dx$$ Ce qui donne la relation de récurrence : $$I_n = \frac{e^2 - n I_{n-1}}{2}$$
Étape 4
Calculons successivement les termes de la suite de $I_1$ à $I_5$ : $$I_1 = \frac{e^2 - I_0}{2} = \frac{e^2 - \frac{e^2 - 1}{2}}{2} = \frac{e^2 + 1}{4}$$ $$I_2 = \frac{e^2 - 2 I_1}{2} = \frac{e^2 - 2 \left(\frac{e^2 + 1}{4}\right)}{2} = \frac{e^2 - 1}{4}$$ $$I_3 = \frac{e^2 - 3 I_2}{2} = \frac{e^2 - 3 \left(\frac{e^2 - 1}{4}\right)}{2} = \frac{e^2 + 3}{8}$$ $$I_4 = \frac{e^2 - 4 I_3}{2} = \frac{e^2 - 4 \left(\frac{e^2 + 3}{8}\right)}{2} = \frac{e^2 - 3}{4}$$ $$I_5 = \frac{e^2 - 5 I_4}{2} = \frac{e^2 - 5 \left(\frac{e^2 - 3}{4}\right)}{2} = \frac{15 - e^2}{8}$$
Étape 5
Par identification avec l'expression $I_5 = \frac{k - e^2}{8}$, on conclut que $k = 15$.
Méthode clé
Pour établir une relation de récurrence sur une suite d'intégrales du type $\int a(x)(g(x))^n dx$, on effectue une intégration par parties en dérivant la puissance $(g(x))^n$.
Piège à éviter
Oublier de distribuer correctement le signe moins ou les facteurs lors des remplacements successifs des termes de la suite.
