Étape 1
Pour $n = 0$, on calcule le premier terme $I_0$ : $$I_0 = \int_0^1 e^{kx} \, dx = \left[ \frac{e^{kx}}{k} \right]_0^1 = \frac{e^k - 1}{k}$$
Étape 2
Pour tout entier $n \ge 1$, on exécute une intégration par parties en posant $u(x) = (1-x)^n$ et $v'(x) = e^{kx}$. On a $u'(x) = -n(1-x)^{n-1}$ et $v(x) = \frac{1}{k} e^{kx}$. Les fonctions $u$ et $v$ étant de classe $C^1$ sur $[0 ; 1]$, on obtient : $$I_n = \left[ \frac{(1-x)^n e^{kx}}{k} \right]_0^1 + \frac{n}{k} \int_0^1 (1-x)^{n-1} e^{kx} \, dx = -\frac{1}{k} + \frac{n}{k} I_{n-1}$$ On en déduit la relation de récurrence : $$k I_n = n I_{n-1} - 1$$
Étape 3
On applique cette relation pour $n = 1$ puis $n = 2$ : $$k I_1 = I_0 - 1 = \frac{e^k - 1 - k}{k} \quad \text{donc} \quad I_1 = \frac{e^k - k - 1}{k^2}$$ $$k I_2 = 2 I_1 - 1 = 2 \left(\frac{e^k - k - 1}{k^2}\right) - 1 = \frac{2e^k - 2k - 2 - k^2}{k^2}$$ D'où : $$I_2 = \frac{2e^k - k^2 - 2k - 2}{k^3}$$
Étape 4
On remplace $I_2$ dans l'égalité de l'énoncé $k^3 I_2 - 2 e^k = -17$ : $$k^3 \left(\frac{2e^k - k^2 - 2k - 2}{k^3}\right) - 2 e^k = -17$$ $$2e^k - k^2 - 2k - 2 - 2e^k = -17$$ $$-(k^2 + 2k + 2) = -17$$ ce qui équivaut à : $$k^2 + 2k - 15 = 0$$
Étape 5
Le discriminant de cette équation du second degré vaut $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 64 = 8^2$. Les solutions réelles sont $k = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ et $k = \frac{-2 + 8}{2} = 3$. Comme $k$ est un réel strictement positif, la seule valeur retenue est $k = 3$.
Méthode clé
Utiliser une intégration par parties pour établir une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-1}$, permettant d'exprimer $I_2$ en fonction de $k$.
Piège à éviter
Oublier le signe moins lors du calcul de la dérivée de $(1-x)^n$ ou ne pas écarter la solution négative de l'équation du second degré.
