Étape 1
Calculons le premier terme $I_0$ de la suite : $$I_0 = \int_0^1 (1-x)^0 e^x \, \mathrm{d}x = \int_0^1 e^x \, \mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$$
Étape 2
Pour $n \ge 1$, établissons une relation entre $I_n$ et $I_{n-1}$ à l'aide d'une intégration par parties. Posons : $$u(x) = (1-x)^n \quad \text{et} \quad v'(x) = e^x$$ Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0, 1]$ et leurs dérivées sont continues sur cet intervalle, avec : $$u'(x) = -n(1-x)^{n-1} \quad \text{et} \quad v(x) = e^x$$
Étape 3
En appliquant la formule d'intégration par parties, nous obtenons : $$I_n = \left[(1-x)^n e^x\right]_0^1 - \int_0^1 \left(-n(1-x)^{n-1} e^x\right) \mathrm{d}x$$ $$I_n = (0 - 1) + n \int_0^1 (1-x)^{n-1} e^x \, \mathrm{d}x = n I_{n-1} - 1$$
Étape 4
Utilisons la relation de récurrence $I_n = n I_{n-1} - 1$ étape par étape pour exprimer $I_4$ : Pour $n = 1$, $I_1 = 1 \cdot I_0 - 1 = (e - 1) - 1 = e - 2$. Pour $n = 2$, $I_2 = 2 I_1 - 1 = 2(e - 2) - 1 = 2e - 5$. Pour $n = 3$, $I_3 = 3 I_2 - 1 = 3(2e - 5) - 1 = 6e - 16$. Pour $n = 4$, $I_4 = 4 I_3 - 1 = 4(6e - 16) - 1 = 24e - 65$.
Étape 5
L'expression de $I_4$ sous la forme $a_4 e - b_4$ donne $24e - 65$. Par identification, nous trouvons $a_4 = 24$ et $b_4 = 65$.
Méthode clé
Pour étudier une suite d'intégrales, on utilise l'intégration par parties afin d'établir une relation de récurrence liant $I_n$ à $I_{n-1}$.
Piège à éviter
Oublier le signe moins lors du calcul de la dérivée de $u(x) = (1-x)^n$, ce qui faux la relation entre $I_n$ et $I_{n-1}$.
