Exercice : Suites d'intégrales et applications

Étape 1

Pour tout $x \in [0, 1]$, on a $-1 \le -x \le 0$. Par croissance de la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$, on obtient $e^{-1} \le e^{-x} \le e^0$, d'où $e^{-x} \le 1$. Comme $x \in [0, 1]$, $x^n \ge 0$. En multipliant chaque membre par $x^n$, il vient : $$0 \le x^n e^{-x} \le x^n$$

Étape 2

Par intégration de l'inégalité sur l'intervalle $[0, 1]$ (les bornes étant dans l'ordre croissant $0 < 1$), on a : $$I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx$$ Or, un calcul de primitive donne : $$\int_0^1 x^n \, dx = \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \dfrac{1^{n+1}}{n+1} - 0 = \dfrac{1}{n+1}$$ On en déduit que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$I_n \le \dfrac{1}{n+1}$$

Étape 3

On cherche le plus petit entier naturel $n_0$ tel que $\dfrac{1}{n+1} \le 0{,}04$. Or, $0{,}04 = \dfrac{4}{100} = \dfrac{1}{25}$. L'inéquation s'écrit donc : $$\dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{25}$$ Comme $n+1 > 0$ et $25 > 0$, la fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0, +\infty[$, cette inéquation est équivalente à : $$n+1 \ge 25$$ Ce qui équivaut à $n \ge 24$. Le plus petit entier naturel vérifiant cette propriété est donc $n_0 = 24$.