Exercice : Suites d'intégrales et applications

Étape 1

Pour tout entier $k \ge 1$ et pour tout réel $x \in [k, k+1]$, la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante et strictement positive. On a l'encadrement : $$\frac{1}{k+1} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{k}$$

Étape 2

En intégrant la majoration $\frac{1}{x} \le \frac{1}{k}$ sur l'intervalle $[k, k+1]$ (de longueur $1$), la propriété de croissance de l'intégrale donne : $$\int_k^{k+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x \le \int_k^{k+1} \frac{1}{k} \mathrm{d}x = \frac{1}{k}$$

Étape 3

En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$, on obtient : $$\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$ Par la relation de Chasles, le membre de gauche se simplifie en : $$\int_1^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = [\ln(x)]_1^{n+1} = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1)$$ On en déduit la minoration théorique : $$H_n \ge \ln(n+1)$$

Étape 4

Pour que cette minoration garantisse que $H_n \ge \ln(500)$, il suffit que : $$\ln(n+1) \ge \ln(500)$$ Par stricte croissance de la fonction logarithme népérien sur $]0, +\infty[$, cette condition équivaut à : $$n + 1 \ge 500$$ ce qui donne $n \ge 499$. Le plus petit entier naturel $n \ge 1$ recherché est donc $499$.